Der sucht vermutlich noch nach der alten Verbindung.
Das heisst entweder, dass die neue Verbindung nicht existiert, oder nicht funktioniert, oder dass in der Routerkonfiguration die Zugangsdaten der alten Verbindung fest eingegeben sind.

piranha,
ich habe von Unitymedia überhaupt keine neuen Einstellungsparameter bekommen, war auch bei dem Direktanschluss von Kabelmodem zum PC nicht nötig. Beim Router scheint das wohl anders zu sein. Anscheinend muß im Router (LinkSys) etwas verändert werden, damit er die neue Verbindung akzeptiert. Oder kann es sein, dass dieser Router für Kabel nicht geeignet ist? In der beiliegenden Beschreibung wird das zwar nicht erwähnt, aber auf einem Anschlußbild ist die Verbindung zwischen "Kabel/DSL-Modem" und "Router" aufgezeichnet. Also müsste der Router auch für Kabel geeignet sein.

Dass du keine neuen Verbindungsdaten hast ist klar, die Verbindung wird automatisch identifiziert.
Deswegen hat dein Anschluss und/oder der Server vom Provider trotzdem eine IP Adresse und die muss dein Router finden.

Ich habe nicht wirklich viel Ahnung von WLAN Routern, ich kann mir nur vorstellen, dass dein Router bei seiner allerersten Verbindung (als er neu war) automatisch die Verbindung gesucht und die IP dazu gespeichert hat, damit er nicht bei jedem Neustart nochmal suchen muss.
Du müsstest also den Router zurücksetzen, sprich alle Einstellungen löschen, damit die Automatik nach der neuen Verbindung sucht.

Und am Notebook kann das nicht liegen?
Folgende Erfahrung habe ich außerdem gemacht:
Ich komme immer noch auf zwei Wegen ins Internet - Telefonleitung und Kabel.
Im Juli gibt es nur noch Kabel.
ALso das Notebook empfängt Internet mittels WLAN an der Telefonleitung. Schließe ich es aber mit Netzwerkkabel direkt an den Router an, bekomme ich kein Internet. Das kann doch nur am Notebook liegen. Ich nehme an ,dass die WLAN-Einrichtung und der direkte Anschluß zwei paar Schuhe sind. Bevor das nicht geklärt ist, kann ich die Verbindung zum Kabel-Router vergessen. Die Direkte Verbindung vom Router zum PC allerdings klappt.

Das ist eine simple Einstellung im Netzwerk vom Notebook.
Ich nehme an das Notebook hat 2 Netzwerkkarten, eine WLAN, eine LAN.
Du musst ihm einfach sagen, über welche Karte er sich verbinden soll.

piranha,
Normalerweise nimmt doch jeder Computer die Verbindungsmöglichkeit, die sich ihm bietet, von selber an.
Es gibt bei mir folgende Netzwerkverbindungen:
1349-Verbindung, Drahtlose Netzwerkverbindung, und
LAN-Verbindung.
Obwohl die erste und die dritte eine Verbindung anzeigen, komme ich dennoch nicht ins Internet.
Auch ein Neustart des Modems bringt nichts.

Ein Computer nimmt die erste Verbindung, von wo er eine IP bekommen kann.
Was hast du denn an 1394 für ein Netzwerk dran?
Ich vermute du hast einfach Murks in den Einstellungen, was genau kann ich dir nicht sagen, dazu gibt es zuviele Möglichkeiten.

Z.B.
Wenn Windows über deine 1394 Verbindung einen DHCP findet, holt er sich von dort eine IP und wenn diese IP dann für LAN und WLAN ungültig ist, verweigert dein Provider den Verbindungsaufbau.

Um das nochmal zu betonen, ich tappe hier auch nur im Dunkeln, weil ich mich mit WLAN nicht auskenne.
Evtl. hast du bei richtigen Experten mehr Glück
http://www.tomshardware.de/foren/foren-60.html