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Page 1
Die magische Zahl
(1) Die 10. Stelle muss eine Null sein, da allein durch 10 teilbar.
(2)
Für die 5. Stelle kommen die 5 und die 0 in Betracht, da die 0 schon vergeben ist,
bleibt nur noch die 5.
(3) Die 2., 4., 6. und 8. Stelle müssen jeweils mit geraden Zahlen belegt sein (2, 4, 6, 8),
da die Zahl an diesen Stellen jeweils durch 2 teilbar sein muss.
(4)
Die 1., 3., 7. und 9. Stelle müssen daher mit ungeraden Zahlen belegt sein. (Die
geraden Zahlen sind ja schon für die anderen Stellen „verbraucht“.)
Tab.1
Stelle
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Möglich-
keiten
1
3
7
9
2
4
6
8
1
3
7
9
2
4
6
8
5
2
4
6
8
1
3
7
9
2
4
6
8
1
3
7
9
0
(5) 4. Stelle: Die Teilbarkeitsregel für Teilbarkeit durch 4 lautet: Die letzten 2 Ziffern der
Zahl müssen durch 4 teilbar sein.
Möglichkeiten: 12; 32; 72; 92; 14; 34; 74; 94; 61; 63; 76; 96; 18; 38; 78; 98.
Nur die Ziffern 2 und 6 sind für die 4. Stelle möglich.
(6) Dasselbe gilt für die 8. Stelle, da diese durch 8, d.h. auch durch 4 teilbar sein muss.
(7)
Damit bleiben für die 2. und 6. Stelle noch die Ziffern 4 und 8.
Tab.2
Stelle
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Möglich-
keiten
1
3
7
9
4
8
1
3
7
9
2
6
5
4
8
1
3
7
9
2
6
1
3
7
9
0
(8) Jetzt zur 3. Stelle: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar
ist. Da Summanden beliebig vertauschbar sind, hat die Zahl 143 dieselbe Quersumme
wie die Zahl 341.
Alle Ziffern dürfen nur einmal vorkommen. Das bringt folgende Möglichkeiten:
Tab. 3
143 oder 341
147 oder 741
149 oder 941
347 oder 743
349 oder 943
749 oder 947
183 oder 318
187 oder 781
189 – 981
387 oder 783
389 oder 983
789 oder 987
1
Page 2
Zunächst können alle Zahlen eliminiert werden, die sowohl eine 3 als auch eine 9 enthalten.
Denn: 9 ist durch 3 teilbar und 3 ist durch 3 teilbar. 4 und 8 sind nicht durch 3 teilbar.
9+3+4 bzw. 9+3+8 sind nicht durch 3 teilbar.
Dann können alle eliminiert werden, deren Quersumme auch sonst nicht durch 3 teilbar ist.
Tab.4
143 oder 341
147 oder 741
149 oder 941
347 oder 743
349 oder 943
749 oder 947
183 oder 318
187 oder 781
189 oder 981
387 oder 783
389 oder 983
789 – 987
Q. 8
Q. 12
Q. 14
Q. 14
3 und 9
Q. 20
Q. 12
Q. 16
Q. 18
Q. 18
3 und 9
Q. 24
Es gibt nun noch folgende 10 mögliche Kombinationen für die Stellen 1-3:
Tab. 5
Stellen 1-3
147 oder 741
183 oder 318
189 oder 981
387 oder 783
789 oder 987
(9) Jetzt die 6. Stelle: die Zahl bis zur 6. Stelle muss durch 6 teilbar sein, d.h. auch die
Quersumme der Zahl bis zur 6. Stelle muss durch 3 teilbar sein.
Für die Stellen 4 bis 6 gibt es folgende Möglichkeiten (s. Tab. 2):
Tab. 6
Stelle 4
Stelle 5
Stelle 6
2
6
5
4
8
Daraus ergeben sich die möglichen Kombinationen für die Stellen 4-6:
254
258
654
658
2
Page 3
und folglich folgende möglichen Kombinationen für die Stellen 1-6:
Tab. 7
Stellen 1-3
Stellen 4-6
147 oder 741 254 oder
258 oder
654 oder
658
183 oder 318 254 oder
258 oder
654 oder
658
189 oder 981 254 oder
258 oder
654 oder
658
387 oder 783 254 oder
258 oder
654 oder
658
789 oder 987 254 oder
258 oder
654 oder
658
Aber keine Sorge! Man muss nicht alle 40 Möglichkeiten durchrechnen, um zu einer Lösung
zu kommen. Es genügen 4 kleine Berechnungen:
Da die Quersumme aller 6 Ziffern durch 3 teilbar sein muss und die Quersumme der ersten 3
Ziffern durch 3 teilbar ist (das wurde oben ausgerechnet), folgt daraus, dass auch die
Quersumme der letzten 3 Ziffern durch 3 teilbar sein muss.
Es genügt also folgende Rechnung:
Tab. 8
254
258
654
658
Q. 11
Q. 15
Q. 15
Q. 19
Nur die Kombinationen 258 und 654 kommen also noch in Betracht! Und man kann noch
weiter vereinfachen! Da eine Ziffer je nur einmal in der Zahl vorkommen darf, fallen
Kombinationen wie 143654 weg (die 4 kommt 2mal vor). Was bleibt also übrig?
Tab. 9
Stellen 1-3
Stellen 4-6
147 oder 741 258 oder 654
183 oder 318 258 oder 654
189 oder 981 258 oder 654
387 oder 783 258 oder 654
789 oder 987 258 oder 654
3
Page 4
Nun sieht die gesamte Tabelle so aus:
Tab. 10
Stellen 1-3
Stellen 4-6
Stelle 7
Stelle 8
Stelle 9
Stelle 10
3
9
147 oder 741 258
9
6
3
0
7
9
183 oder 318 654
9
2
7
0
3
7
189 oder 981 654
7
2
3
0
1
9
387 oder 783 654
9
2
1
0
1
3
789 oder 987 654
3
2
1
0
Auch an den Stellen 7, 8 und 9 wurden dabei in Tabelle 10 nur noch Ziffern berücksichtigt,
die nicht schon einmal an den Stellen 1-6 in der Zahl vorkommen. Es bleiben also insgesamt
nur noch 20 mögliche Kombinationen übrig!
Nun gibt es mehrere Möglichkeiten, weiterzumachen.
(1) Man nimmt alle 20 verbliebenen Kombinationen für Stelle 7 und prüft sie auf
Teilbarkeit durch 7:
a. Für kleine Zahlen: letzte Ziffer verdoppeln, von den verbliebenen Ziffern
abziehen, prüfen, ob die errechnete Zahl durch 7 teilbar ist. Bei Bedarf
wiederholen.
b. Für große Zahlen (wie hier): Die alternierende Dreierquersumme der Zahl
muss durch 7 teilbar sein.
c. Ansonsten: Den Taschenrechner benutzen und einfach die Zahlen, so wie sie
sind, durch 7 teilen.
d. Freaks: Rechnen die 20 Zahlen ins Siebenersystem um und schauen, ob eine
Null hinten steht…
Für dieses Verfahren muss man 20mal den Taschenrechner bemühen.
(2) Einen Trick anwenden, der nur 10mal eintippen benötigt: Man teilt einfach nicht alle
Kombinationen für Stelle 7 durch 7, sondern nimmt die verbleibenden 10
Möglichkeiten für Stelle 6 und hängt jeweils dieselbe Endziffer an, z.B. die 1. Das
Ganze teilt man dann durch 7 und kann aufgrund des Teilungsrests sehen, welche der
möglichen verbleibenden Ziffernkombinationen für Stelle 7 durch 7 teilbar sind.
Bei Rest 0 ist natürlich die berechnete Zahl mit Endziffer 1 durch 7 teilbar;
bei Rest 5 sind die sechs verwendeten ersten Ziffern mit Endziffer 3 durch 7 teilbar;
bei Rest 1 die sechs verwendeten ersten Ziffern mit Endziffer 7;
bei Rest 6 die sechs verwendeten ersten Ziffern mit Endziffer 9 an siebter Stelle;
andere Teilungsreste interessieren nicht, da die Ziffer an Stelle 7 nur 1, 3, 7 oder 9
sein kann.
Folgende Zahlen müssen also geteilt werden:
1472581/7
Rest 5 1472583 ist durch 7 teilbar.
7416541/7
Rest 6 7416549 ist durch 7 teilbar.
4
Page 5
1836541/7 Rest 0 1836541 ist durch 7 teilbar. ( Die Ziffer 1 ist an 7. Stelle
nicht vorgesehen (vgl. Tab. 10).)
3816541/7 Rest 1 3816547 ist durch 7 teilbar.
1896541/7 Rest 3 uninteressant. (Die Zahl 1896545 wäre durch 7 teilbar.)
9816541/7 Rest 0 9816541 ist durch 7 teilbar. ( Die Ziffer 1 ist an 7. Stelle
hier nicht vorgesehen (vgl. Tab. 10).)
3876541/7 Rest 4 uninteressant.
7836541/7 Rest 6 7836549 ist durch 7 teilbar.
7896541/7 Rest 2 uninteressant.
9876541/7 Rest 3 uninteressant.
Bei dieser Variante bleiben also am Ende nur noch 4 mögliche Ergebnisse, nämlich (hier
bereits ergänzt um die 8. Stelle, wie sie in Tab. 10 erscheint):
14725836,
74125892,
38165472,
78365492.
Davon ist nur die 38165472 durch 8 teilbar (Endziffern 472). Die letzten 2 Ziffern stehen
dann auch fest (s. Tab. 10): 90.
Das Ergebnis lautet also:
3816547290.
(3) Falls Ihnen die ganze Geschichte mit dem Rest nicht zusagt, gibt es hier noch eine
andere elegante Lösung:
Noch einmal Tab. 10.
Stellen 1-3
Stellen 4-6
Stelle 7
Stelle 8
Stelle 9
Stelle 10
3
9
147 oder 741 258
9
6
3
0
7
9
183 oder 318 654
9
2
7
0
3
7
189 oder 981 654
7
2
3
0
1
9
387 oder 783 654
9
2
1
0
1
3
789 oder 987 654
3
2
1
0
Dabei lässt man die siebte Stelle zunächst außen vor, wendet sich der achten Stelle zu und
überprüft, welche der Möglichkeiten für die achte Stelle durch 8 teilbar ist. Dabei muss
man nur überprüfen, ob die jeweils letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar sind, wenn ja, ist auch
die ganze Zahl durch 8 teilbar.
Wie aus Tabelle 10 ersichtlich, gibt es nur noch 6 Kombinationen für die letzten 3 Ziffern,
ab der 8. Stelle nach rechts gezählt:
5
Page 6
412
432
472
492
sowie
836 und
896.
Von diesen sind nur die Kombinationen 432, 472 und 896 durch 8 teilbar. Bleiben 10
Ergebnisse aus Tabelle 10:
14725896(30)
74125896(30)
18365472(90)
31865472(90)
18965432(70)
18965432 (70)
18965472(30)
18965472(30)
78965432(10)
98765432(10)
Überprüft man nun, bei welcher dieser 10 Zahlen die ersten 7 Stellen durch 7 teilbar sind,
bleibt eine einzige Lösung:
3186547290.
6

0.= so viele Zahlen ôO *versucht zu verstehn*0.0

cool...chinesisch...xD.....ich verstehs auch net..o_O..so einen schrott haben wir nie gelernt...

http://stefanie-luppold.de/cafe/zahl2.pdf#search=%22alternierende%20Dreierquersumme%20%22

Ich denke, es ist einfacher zu verstehen, wenn du dir die PDF-Datei runterlädst. Link steht oben.

Thx Kat^^

@Dark: das ich das raufinden muss ist ja auch meine eigene schuld... ich bin im Matheunterricht eingeschlafen =.= (darum auch meine gute laune=_=)

na hoppla....xD...wie kann man den einpennen..na gut, unser lehre war echt ne tröte...XDDDD..wie der geredet hat o_O..der war auch schwul, glaub ich, aber echt...*nichts gegen schwule hab* aber trotzdem
-.-

*jetztmalnichtmehrdraufeingeh*

hat noch wer etwas gefunden was sogar ICH verstehen kann...?

@kat:das ist eigentlich das gleiche was ich gemacht hab(nur ohne Tabellen^^).Aber egal^^

Ich verstehe das, habe es neulich zum Spaß runtergeschrieben^^
Ist nicht so schwer, wie es VIELLEICHT aussieht...^^
Viel Glück Ai !!!! *Daumen drück*

ôo*versucht verzweifelt>_<* thx...
*chinesischistleichteralsdas>_<*